Question

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên a thì biểu thức sau luôn nhận giá trị là một số nguyên.

  \(D=\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)

Answer 1

Nhìn cái D cồng kềnh thế thôi chứ key vô cùng EZ.

\(D=\sqrt{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\left(a+5\right)\left(a+6\right)+36}\)

\(=\sqrt{\left[a\left(a+6\right)\right]\left[\left(a+1\right)\left(a+5\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+4\right)\right]+36}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+6a\right)\left(a^2+6a+5\right)\left(a^2+6a+8\right)+36}\)

Đặt \(a^2+6a=x\)

Ta có:

\(D=\sqrt{x\left(x+5\right)\left(x+8\right)+36}=\sqrt{x^3+13x^2+40x+36}\)

\(=\sqrt{\left(x+9\right)\left(x+2\right)^2}\)

Thay \(x=a^2+6a\) ta có:

\(D=\sqrt{\left(a^2+6a+9\right)\left(a^2+6a+2\right)^2}=\sqrt{\left(a+3\right)^2\left(a+6a+2\right)^2}=\left(a+3\right)\left(a+6a+2\right)\)

là số nguyên vs a nguyên khác 0 nha !