Question

chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a^5-a luôn chia hết cho 5

 

Answer 1

Ta có : a^{5 _} a= a( a^{4 _}  1)= a(a^2 _ 1)(a² +1).

Nếu a\(⋮\)5 \(\Rightarrow\)a^5 _  a = a(a^{2 _} 1)(a² +1) \(⋮\)5 .Nếu a không chia hết cho 5 \(\Rightarrow\)a² không chia hết cho 5 \(\Rightarrow\)a² chia 5 dư 1 hoặc dư 4 ( Vì a² là số chính phương).Nếu a² chia 5 dư 1 \(\Rightarrow\) a^{2 _} 1\(⋮\)5 \(\Rightarrow\)a^5 _ a = a( a^{2 _} 1)(a² +1)\(⋮\)5Nếu a² chia 5 dư 4 \(\Rightarrow\) a² + 1\(⋮\)5 \(\Rightarrow\)a^5 _ a = a( a^{2 _} 1)(a² +1)\(⋮\)5

Do đó : Với mọi a\(\in Z\)thì a^{5 _}  a \(⋮\)5 (đpcm)