Question

Chứng minh rằng với mọi số nguên n thì:  n^2 (n+1) + 2n (n+1) chia hết cho 6

Answer 1

Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=>  3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2.3 = 6 
Vậy ta được điều phải chứng minh

Answer 2

n²(n+1)+2n(n+1) chia hết cho 6.

Ta có:n²(n+1)+2n(n+1)

          =(n+1) (n²+2n)

          =n+1.n(n+2)

          =n.(n+1)(n+2)

Vì n;(n+1);(n+2) là ba số tự nhiên liên tiếp (với mọi số nguyên n) nên:

     n.(n+1)(n+2) chia hết cho 2 

và n.(n+1)(n+2) chia hết cho 3

      =>n.(n+1)(n+2)chia hết cho(2.3)

hayn.(n+1)(n+2) chia hết cho 6

Vậy n²(n+1)+2n(n+1) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n(đpcm)