Ta có:
7=3k+1\(\Rightarrow\)7\(^{n+1}\)=3k+1 với mọi n thuộc N
8=3k+2\(\Rightarrow\)8\(^{2n+1}\)=3k+2 với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow\)7\(^{n+1}\)+8\(^{2n+1}\)=(3k+1)+(3k+2)=3k+3\(⋮\)3(đpcm)
Ta có : \(7^{n+1}\)+\(8^{2n+1}\)=\(7^n\)x\(7\)+\(8^{2n}\)x8=\(7^n\)x7+\(\left(8^2\right)^n\)x8=\(7^n\)x7+\(64^n\)x8
Vì \(7^n\):3 dư 1 \(\forall\)n\(\in\)\(ℕ\); 7:3 dư 1\(\Rightarrow\)\(7^n\)x7 chia 3 dư 1 (1)
\(64^n\): 3 dư 1 \(\forall\)n\(\in\)\(ℕ\); 8:3 dư 2\(\Rightarrow\)\(64^n\)x8 chia 3 dư 2 (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)\(7^{n+1}\)+\(8^{2n+1}\)chia hết cho 3\(\Rightarrow\)ĐPCM