Question

Chứng minh rằng Với các số tự nhiên a,b,c thoả mãn  : a³+b³+c³ chia hết cho 6 thì a+b+c chia hết 6

Answer 1

a³+b³+c³=(a+b+c)³-3(a+b)(a+c)(b+c)
Vì a³+b³+c^3 \(⋮\)6 nên [(a+b+c)³-3(a+b)(a+c)(b+c)] \(⋮\)6
Mà trong 3(a+b)(a+c)(b+c) luôn có ít nhất 1 số chẵn ( xét các trường hợp a,b,c lần lượt là : lẻ, lẻ, lẻ; chẵn,chẵn, chẵn; chẵn, lẻ, lẻ; chẵn, chẵn, lẻ;chẵn lẻ chẵn; lẻ chẵn lẻ; lẻ chẵn chẵn; lẻ lẻ chẵn..[tìm thêm ])
nên 3(a+b)(a+c)(b+c)\(⋮\)6
=> (a+b+c)³ phải chia hết cho 6 
Lại có a,b,c là các số tự nhiên nên suy ra a+b+c phải chia hết cho 6.

Answer 2

a3+b3+c3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ac)+3abc

a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b2+c^2−ab−bc−ac)+3abc

                    =(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc=(a+b+c)[a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc−3ac−3bc−3ab)+3abc

                    =(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc=(a=b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ac)]+3abc

*Nếu a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3a+b+c⋮3⇒a3+b3+c3⋮3

*Nếu a3+b3+c3⋮3⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3

⇒a+b+c⋮3a3+b3+c3⋮3

⇒(a+b+c)[(a+b+c)2−3(ab+bc+ca)]⋮3

⇒a+b+c⋮3

=>đpcm

Mk nhác ghi mũ lắm thông cảm nha Vd; a2=a^2