Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD.
I, K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC
Gọi F là trung điểm của BC
Trong tam giác ACB ta có:
K là trung điểm của cạnh AC
F là trung điểm của cạnh BC
Nên KF là đường trung bình của ∆ BDC
⇒ KF // AB và KF=\(\frac{1}{2}\)ABKF=\(\frac{1}{2}\)AB (tính chất đường trung bình của tam giác)
Trong tam giác BDC ta có:
I là trung điểm của cạnh BD
F là trung điểm của cạnh BC
Nên IF là đường trung bình của ∆ BDC
⇒ IF // CD và IF=\(\frac{1}{2}\)CDIF=\(\frac{1}{2}\)CD (tính chất đường trung bình của tam giác)
FK // AB mà AB // CD nên FK // CD
FI // CD (chứng minh trên)
Suy ra hai đường thẳng FI và FA trùng nhau.
⇒ I, K, F thẳng hàng, AB < CD ⇒ FK < FI nên K nằm giữa I và F
IF = IK + KF
\(\eqalign{ & \Rightarrow IK = IF - KF \cr & = {1 \over 2}CD - {1 \over 2}AB = {{CD - AB} \over 2} \cr}\)
Ta có hình vẽ ( mang tính tương đối )
Gọi ,M,E,F lần lượt là trung điểm của các đoạn AD ; BD ; AC
Xét \(\Delta ABD\)có M,E lần lượt là trung điểm của AD và BD nên ME là đường trung bình của tam giác ADB
Do đó \(ME//AB;ME=\frac{1}{2}AB\)(1)
Xét \(\Delta ADC\)có M;F lần lưượt là trung điểm của AD;AC nên MF là đường trung bình của tam giác ADC
Do đó \(MF=\frac{DC}{2};MF//DC\)mà \(AB//DC\)(vì tứ giác ABCD là hình thang ) nên \(MF//DC\)(2)
Từ (1) và (2) ta có ba điểm M;E;F thẳng hàng ( theo tiên đề Ơ-clit) và
\(FE=FM-EM=\frac{1}{2}\left(CD-AB\right)\)
Vậy trong hình thang mà 2 đáy không bằng nhau đoạn thẳng nối trung điểm của 2 đường chéo bằng nửa hiệu 2 đáy.
