Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Quản gia Whisper

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

Hoàng Phúc
15 tháng 4 2016 lúc 20:47

gọi p/s đó là a/b (a;b \(\in\) Z,b \(\ne\) 0)

Ta cần c/m \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Nhân cả 2 vế cho ab,ta đc:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (dấu "=" xảy ra <=>a=b0

BĐT cuối luôn đúng,ta có đpcm

Quản gia Whisper
15 tháng 4 2016 lúc 20:40

Gọi phân số dương là \(\frac{a}{b}\).Không mất tích tổng quát giả sử a>0,b>0 và a\(\ge\) b.Ta có thể viết a=b+m(m\(\ge\) 0).Ta có;

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{m+b}\)

=\(1+\frac{m}{b}+\frac{b}{m+b}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}\)

=\(1+\frac{m+b}{b+m}=2\)

Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

zZz Phan Cả Phát zZz
15 tháng 4 2016 lúc 20:41

Gọi p/s đó là : a/b ( vs mọi a:b \(\in\) N* ) 

Theo bài ra ta có : 

a/b + b/a = \(\frac{2a+2b}{ab}\) = \(\frac{2\left(a+b\right)}{ab}\)

Vậy  tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
15 tháng 4 2016 lúc 20:42

Gọi p/s đó là : a/b ( vs mọi a:b $\in$∈ N* ) 

Theo bài ra ta có : 

a/b + b/a = $\frac{2a+2b}{ab}$2a+2bab  = $\frac{2\left(a+b\right)}{ab}$2(a+b)ab 

Vậy  tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2

Trang Quỳnh Anh
15 tháng 4 2016 lúc 20:45

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)    ( với  x < y  )

        Vì :  \(\frac{x}{y}<1;\)\(\frac{y}{x}>1\)

Mà 1 < 2

      2 > 1

=> tổng của chúng nhỏ hơn 2  

Hoàng Phúc
15 tháng 4 2016 lúc 20:48

Phan Cả Phát;giải vớ vẩn


Các câu hỏi tương tự
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Tạ Thu Anh
Xem chi tiết
Ngô Thành Vinh
Xem chi tiết
vu thi kim anh
Xem chi tiết
Minh Thư
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thùy Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Tú Trân
Xem chi tiết
Tuananh Vu
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Thắng G
Xem chi tiết