そちそらみきみらにそちにきにかなにのくらみきくにいな
Gọi 2 số đó lần lượt là a ; b (a,b \(\inℤ\))
Xét hiệu (a3 + b3) - (a + b)
= (a3 - a) + (b3 - b)
= a(a2 - 1) + b(b2 - 1)
= (a - 1)a(a + 1) + (b - 1)b(b + 1)
Vì a ; b \(\inℤ\)=> (a - 1)a(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp
=> Tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 3 , mà (2,3) = 1
=> (a - 1)a(a + 1) \(⋮\)6
Tương tự (b - 1)b(b + 1) \(⋮\)6
=> (a3 + b3) - (a + b) \(⋮\)6
=> ĐPCM
Gọi 2 số nguyên là \(a,b\)( \(a,b\inℕ\))
Tổng các lập phương của 2 số nguyên là \(a^3+b^3\)
Tổng của 2 số nguyên đó là \(a+b\)
Xét hiệu ta có: \(\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)\)
\(=a^3+b^3-a-b=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)\)
Vì \(a\), \(a-1\), \(a+1\)là 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮2\)và \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\)
mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)
Chứng minh tương tự: \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)⋮6\)(1)
+) Ta chứng minh \(a^3+b^3⋮6\)\(\Rightarrow a+b⋮6\)
Thật vậy, nếu \(a^3+b^3⋮6\)thì từ (1) \(\Rightarrow a+b⋮6\)( đpcm )
+) Ta chứng minh \(a+b⋮6\)\(\Rightarrow a^3+b^3⋮6\)
Thật vậy, nếu \(a+b⋮6\)thì từ (1) \(\Rightarrow a^3+b^3⋮6\)( đpcm )
Như vậy ta luôn có: \(a^3+b^3⋮6\)\(\Leftrightarrow a+b⋮6\)( đpcm )
