Question

Chứng Minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho ( 199^k - 1 ) chia hết cho 104

Answer 1

Ta đặt dãy số: 1999^1, 199^2 ,..., 1999^104

Ta lấy tất cả các số trên chia cho 104 sẽ thấy có ít nhất 103 số dư

1,2,3....,103 ( sẽ dư 0 vì 1999 và 104 nguyên tố cùng nhau nên 1999mũ bao nhiêu cũng chia hết cho 104)

Mà dãy số trên có 104 => sẽ có ít nhất 2 số cùng dư 

Gọi 2 số đó là 199^a và 199^b ( a > b)

Vì 1999^ a và 199^b chia hết cho 104 có cùng số dư nên 199^a - 199^b chia hết cho 104

=> 199^bx ( 199^ a-b -1)

mà ước chung lớn nhất ( 199^b,104)=1 nên 199^ a-b-1 chia hết cho 104

Vậy với k= a-b thfi tồn tại 199k -1 chai hết cho 104