Lời giải:
Gọi $A=a(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ là tích 5 số tự nhiên liên tiếp $(a\in\mathbb{N})$
Để cm $A\vdots 120$ thì ta sẽ cm $A\vdots 3,5,8$
Thật vậy:
Nếu $a\vdots 3$ thì hiển nhiên $A\vdots 3$
Nếu $a$ chia 3 dư $1$ thì $a+2\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3$
Nếu $a$ chia 3 dư $2$ thì $a+1\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3$
Vậy $a\vdots 3$
-----------
Tương tự, xét số dư của $a$ khi chia $5$ ta cũng cm được $A\vdots 5$
-----------
CM $A\vdots 8$.
Nếu $a$ chẵn. Đặt $a=2k$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$A=2k(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)=8k(2k+1)(2k+3)\vdots 8$
Nếu $a$ lẻ. Đặt $a=2k+1$ với $k$ tự nhiên. Khi đó:
$A=(2k+1)(2k+2)(2k+3)(2k+4)(2k+5)=4(2k+1)(2k+3)(2k+5)(k+1)(k+2)$
Vì $k+1, k+2$ là 2 số liên tiếp nên luôn có 1 số chẵn 1 số lẻ.
$\Rightarrow (k+1)(k+2)\vdots 2$
$\Rightarrow A=4(2k+1)(2k+3)(2k+5)(k+1)(k+2)\vdots 8$
Vậy $A\vdots 8$
Từ $A\vdots 3, 8,5$ suy ra $A\vdots 120$
