Nếu \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ thì
Ta có\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow2=\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)
Suy ra được \(a^2=2b^2\)
Đặt \(a=2k\)
Suy ra \(\left(2k\right)^2=2b^2=2k^2\)
Suy ra b là số chẵn
Suy ra a,b ko phải là 2 số nguyên tố cùng nhau
Suy ra Giả sử sai
Vậy \(\frac{a}{b}\)là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left(a,b\in Q;b\ne0;\left(a,b\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow2=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow a^2=2b^2\)
Vì \(\frac{a}{b}\)là số hữu tỉ \(\Rightarrow a^2⋮2\Rightarrow a⋮2\left(1\right)\)
=> a = 2k (k thuộc Q) => a2 = 4k2
Ta có: a2 = 2b2 => 4k2 = 2b2 => 2k2 = b2 => \(b^2⋮2\Rightarrow b⋮2\) (2)
Từ (1) và (2) => (a,b) khác 1 => trái với giả sử
Vậy...
giả sử √2 là số hữu tỉ đặt √2 = m/n ( ước chung lớn nhất của m,n=1)
=> √2 n = m
=> 2n2 =m2
=> m2\(⋮\)2
=> m\(⋮\)2 => m2\(⋮\)4
=> 2n2\(⋮4\)=> n2\(⋮\)2=> n\(⋮\)2
=> 2 là 1 ước của m,n (trái đk UCLN(m,n)=1)
=> √2 là số vô tỉ
Chứng minh phản chứng :
Giả sử √2 là số hữu tỉ
=> √2 = a/b với a, b nguyên và a/b tối giản hay (a ; b) = 1 (1)
√2 = a/b
<=> 2 = a²/b²
<=> b² = a²/2
=> a² chia hết cho 2
=> a chia hết cho 2 (vì 2 là số nguyên tố) (2)
=> a = 2k. Thay vào :
2 = a²/b²
<=> 2 = (2k)²/b²
<=> b² = 2k²
=> b² chia hết cho 2
=> b chia hết cho 2 (3)
Từ (2) và (3) => ƯC (a ; b) = 2
=> Mâu thuẫn (1)
=> Điều giả sử là sai
=> √2 là số vô tỉ (đpcm)
Giả sử căn 2 là số hữu tỉ, như vậy căn 2 có thể viết dưới dạng căn 2 =m/n(m,n)=1
suy ra m^2=2n^2(1),do đó m^2 chia hết cho 2.Ta lại có 2 là số nguyên tố nên m chia hết cho 2(2)
Đặt m= 2k(k thuộc N).Thay vào (1) ta được :
4k^2=2n^2 nên 2k^2=n^2 suy ra n^2 chia hết cho 2
suy ra n chia hết cho 2
Vậy m,n cùng chia hết cho2 trái với gia sử(m,n)=1
suy ra căn 2 ko là số hữu tỉ hay căn 2 là số vô tỉ
a) Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) ( a ; b \(\in\) N* ) ; ( a ; b ) = 1
\(\implies\) \(b\sqrt{2}=a\)
\(\implies\) \(b^2.2=a^2\)
\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố
\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\)
\(\implies\) \(a^2\) chia hết cho \(4\)
\(\implies\) \(b^2.2\) chia hết cho \(4\)
\(\implies\) \(b^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố
\(\implies\) \(b\) chia hết cho \(2\)
\(\implies\) \(\left(a;b\right)=2\) mâu thuẫn với \(\left(a;b\right)=1\)
\(\implies\) Điều giả sai
\(\implies\) \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )
b) Giả sử \(5-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-\sqrt{2}=m\) ( m \(\in\) Q )
\(\implies\) \(\sqrt{2}=5-m\) ; mà \(5\) là số hữu tỉ ; \(m\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-m\) là số hữu tỉ
Mà theo câu a ; \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ
\(\implies\) Mâu thuẫn
\(\implies\) \(5-\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )
