Question

Chứng minh rằng phương trình \(x^2+2010.2011=2xy\) không có nghiệm nguyên.

Answer 1

\(\text{Ta có:}2010.2011⋮2;2xy⋮2\Rightarrow x^2⋮2\Rightarrow x⋮2\Rightarrow x^2⋮4;2xy⋮4\text{ mà:}\)

\(\text{2010.2011 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên: }x^2+2010.2011\text{ không chia hết cho 4}̸\)

\(\text{mà: }2xy⋮4\left(\text{cmt}\right)\text{ nên phương trình không có nghiệm nguyên}\)

Answer 2

Ta có: \(x^2-2xy+y^2-y^2+2010.2011=0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2+2010.2011=y^2\)

số chính phương chia 4 dư 1 hoặc 0

=> VP chia 4 dư 1 hoặc 0  (1)

Ta có: (x-y)^2 chia 4 dư 1 hoặc 0 mà 2010.2011 chia 4 dư 2

=> VT chia 4 dư 3 hoặc 2 (2)

Từ (1) ; (2) => không tồn tại x; y nguyên.