Question

Chứng minh rằng phân số \(\frac{n^2+n-1}{n^2+n+1}\)là tối giản với mọi n \(\in\)N

Answer 1

Gọi d=ƯCLN(n²+n-1 ; n²+n+1)

=> \(n^2+n-1⋮d\)

\(n^2+n+1⋮d\)

=> \(\left(n^2+n+1\right)-\left(n^2+n-1\right)⋮d\)

=> \(2⋮d\)

Ta có n²+n+1=n(n+1)+1. Mà n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên là số chẵn =>n²+n+1 là số lẻ

=> \(d\ne2\)

=> d=1

Vì ƯCLN ( n²+n-1 ; n²+n+1)=1 nên phân số đã cho tối giản

Answer 2

Gọi d=ƯCLN(n²+n-1 ; n²+n+1)

=> n^2+n-1⋮d

n^2+n+1⋮d

=> (n2+n+1)−(n2+n−1)⋮d

=> 2⋮d

Ta có n²+n+1=n(n+1)+1. Mà n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên là số chẵn =>n²+n+1 là số lẻ

=> d khác 2

=> d=1

Vì ƯCLN ( n²+n-1 ; n²+n+1)=1 nên phân số đã cho tối giản