Gọi d thuộc Ư C ( n + 1 ; 2n + 1 )
=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}}\)=> ( 2n + 2 ) - ( 2n + 1 ) chia hết cho d => 1 chia d => d thuộc Ư ( 1 )
Vậy A là phân số tối giản
nếu n+1 chia hết cho d
mà 2n+1 cũng chia hết cho d
d sẽ thuộc ƯC(2n+1,n+1) mà ước chung của mẫu và tử của phân số tối giản chỉ có thể là 1 hoặc -1
vì n+1 chia hết cho d nên n+1x2=2n+2 cũng sẽ chia hết cho d
=> 2n+2-2n+1=1 và sẽ chia hết cho d nên d chỉ có thể là 1 hoặc -1
vì vậy nên phân số A=n+1/2n+1 là phân số tối giản
Gọi d là ước chung của n + 1 và 2n + 1
ta có \(n+1⋮d\Rightarrow2.\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow2n+2⋮d\) và \(2n+1⋮d\)
\(\Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\)
\(2n+2-2n-1⋮d\)
\(1⋮d\)
\(\Rightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)
Vậy \(\frac{n+1}{2n+1}\)là phân số tối giản
Gọi UCLN(n+1;2n+1)=d
=>n+1 chia hết cho d=>2.(n+1)chia hết cho d =>2n+2 chia hết cho d
=> 2n+1 chia hết cho d =>2n+1 chia hết cho d
=>2n+2 - (2n+1) chia hết cho d
=>2n+2 - 2n - 1 chia hết cho d
=>1 chia hết cho d =>d=1
=>UCLN(n+1;2n+1)=1
Vậy \(\frac{n+1}{2n+1}\)là phân số tối giản (đpcm)
