Question

 

Chứng minh rằng nếu$x,y,z$ là các số dương thì 

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge \frac{x+y+z}{2}$

 

Answer 1

theo bất đẳng thức cô-si : x+y  ≥2√xy với x,y là các số ko âm nên theo BĐT cô-si ta có:

^{\(\frac{^{a^2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\times\frac{b+c}{4}}=2\times\frac{a}{2}=a\)}

suy ra                       \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)

tương tự                   \(\frac{b^2}{a+c}\ge b-\frac{a+c}{4};\frac{c^2}{a+b}\ge c-\frac{a+b}{4}\)

cộng từng vế ba bất đẳng thức ta được 

              \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\)

vậy bất đẳng thức được chứng minh