Question

Chứng minh rằng nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì ta có(p-1)(p+1)(q+1)(q+2) luôn chia hết cho 144

Answer 1

Lời giải:

Do $p,q$ là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p,q$ lẻ và không chia hết cho 3.

$\Rightarrow p,q$ chia 6 dư 1 hoặc 5.

TH1: $p$ chia 6 dư 1, q chia 6 dư 1. Đặt $p=6k+1, q=6m+1$. Khi đó:

$A=(p-1)(p+1)(q+1)(q+2)=6k(6k+2)(6m+2)(6m+3)$

$=72k(3k+1)(3m+1)(2m+1)$

Do $k+(3k+1)=4k+1$ lẻ nên $k, 3k+1$ khác tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow$ trong 2 số có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

$\Rightarrow k(3k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A=72k(3k+1)(3m+1)(2m+1)\vdots (72.2)$ hay $A\vdots 144$

TH2: $p$ chia 6 dư 1, $q$ chia 6 dư 5. Đặt $p=6k+1, q=6m+5$ thì:

$A=(p-1)(p+1)(q+1)(q+2)=6k(6k+2)(6m+6)(6m+7)$

$=72k(3k+1)(m+1)(6m+7)$

Tương tự như TH1 ta có $k(3k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A\vdots (72.2)$ hay $A\vdots 144$

TH3: $p$ chia 6 dư 5, $q$ chia 6 dư 1.

Đặt $p=6k+5, q=6m+1$

$A=(6k+4)(6k+6)(6m+2)(6m+3)=72(3k+2)(k+1)(3m+1)(2m+1)$

$(3k+2)+(k+1)=4k+3$ lẻ nên $3k+2, k+1$ khác tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow$ trong 2 số có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

$\Rightarrow (3k+2)(k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A\vdots (72.2)$ hay $A\vdots 144$

TH4: $p$ chia 6 dư 5, q chia 6 dư 5.

Bạn xét tương tự 3 TH trước

$\Rightarrow$ ta có đpcm.

Answer 2

Lời giải:

Do $p,q$ là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p,q$ lẻ và không chia hết cho 3.

$\Rightarrow p,q$ chia 6 dư 1 hoặc 5.

TH1: $p$ chia 6 dư 1, q chia 6 dư 1. Đặt $p=6k+1, q=6m+1$. Khi đó:

$A=(p-1)(p+1)(q+1)(q+2)=6k(6k+2)(6m+2)(6m+3)$

$=72k(3k+1)(3m+1)(2m+1)$

Do $k+(3k+1)=4k+1$ lẻ nên $k, 3k+1$ khác tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow$ trong 2 số có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

$\Rightarrow k(3k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A=72k(3k+1)(3m+1)(2m+1)\vdots (72.2)$ hay $A\vdots 144$

TH2: $p$ chia 6 dư 1, $q$ chia 6 dư 5. Đặt $p=6k+1, q=6m+5$ thì:

$A=(p-1)(p+1)(q+1)(q+2)=6k(6k+2)(6m+6)(6m+7)$

$=72k(3k+1)(m+1)(6m+7)$

Tương tự như TH1 ta có $k(3k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A\vdots (72.2)$ hay $A\vdots 144$

TH3: $p$ chia 6 dư 5, $q$ chia 6 dư 1.

Đặt $p=6k+5, q=6m+1$

$A=(6k+4)(6k+6)(6m+2)(6m+3)=72(3k+2)(k+1)(3m+1)(2m+1)$

$(3k+2)+(k+1)=4k+3$ lẻ nên $3k+2, k+1$ khác tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow$ trong 2 số có 1 số chẵn và 1 số lẻ.

$\Rightarrow (3k+2)(k+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A\vdots (72.2)$ hay $A\vdots 144$

TH4: $p$ chia 6 dư 5, q chia 6 dư 5.

Bạn xét tương tự 3 TH trước

$\Rightarrow$ ta có đpcm.