Question

chứng minh rằng nếu p và p+2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12

Answer 1

p > 3 

=> Đặt p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2

Khi p = 3k + 1 

=> p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) 

=> p + 2 là hợp số (lọai) 

Khi p = 3k + 2

=> p + 2 = 3k + 4 (tm) 

=> p + p + 2 = 3k + 2 + 3k + 4 = 6k + 6 = 6(k + 1)

Khi k = 2t => 3k + 2 = 3.2t + 2 = 2(3t + 1) 

=> 3k + 2 là họp số loại

Khi k = 2t + 1 

=> 3k + 2 = 6t + 5 (tm)

3k + 4 = 6t + 7 (tm) 

Khi đó p + p + 2 = 6(k + 1) = 6(2t + 1 + 1) = 6(2t + 2) = 12(t + 1) \(⋮\)12

Answer 2

Ta có: p+(p+2)=2(p+1)

Vì p lẻ nên $(p+1)⋮2=>2(p+1)⋮4$ (1)

Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên $(p+1)⋮3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\left[p+(p+2)\right]⋮12$ (đpcm)