Question

Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì ( p - 1 ) ( p + 1 ) chia hết cho 24.

Answer 1

Theo đề bài: p là số nguyên tố lớn hơn 3

=> p là số lẻ

=> p = 2k + 1 ( \(k\in z;k>1\))

=> A = (p - 1)( p +1 ) = 2k(2k+2) = 4k(k+1)

=> A chia hết cho 8  (1)

Ta lại có: p = 3n + 1 hoặc 3n - 1 (\(n\in Z,N>1\))

=> A chia hết cho 3   (2)

Từ (1) và (2) => A chia hết cho 24

Answer 2

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ. Do đó, p = 2k + 1 (k nguyên và k > 1) suy ra:

A = (p – 1).(p + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1) suy ra A chia hết cho 8.

Ta có: p = 3h + 1 hoặc 3h – 1 (h nguyên và h > 1) suy ra A chia hết cho 3.

Vậy A = (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24

Answer 3

+) Với p = 3k + 1:

=> (p – 1)(p + 1) = 3k.(3k + 2) ⋮ 3 (2a)

+) Với p = 3k + 2:

=> (p – 1)(p + 1) = (3k – 1).3.(k + 1) ⋮ 3 (2b)

Từ (2a), (2b) suy ra: (p – 1)(p + 1) ⋮ 3      (2)

Vì (8, 3) = 1, từ (1) và (2) suy ra: (p – 1)(p + 1) ⋮ 24 (đpcm).

Answer 4

Giải : Ta có :

( p - 1 ) p ( p + 1 ) \(⋮\) 3 mà ( p , 3 ) = 1 nên

( p - 1 ) ( p + 1 ) \(⋮\) 3                     (1)

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ , p - 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp . Trong hai số chẵn liên tiếp , có một số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8       (2).

Từ (1) và (2) suy ra ( p - 1 ) ( p + 1 ) chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau 3 và 8 .

Vậy ( p - 1 ) ( p + 1 ) \(⋮\) 24.