Ta có n2 = n.n
mà n2 chẵn => n.n chẵn
=> n.n ⋮2
=> có ít nhất 1 số chia hết cho 2
mà n = n => n ⋮2
=> n chẵn (đpcm)
Giả sử n lẻ, khi đó n có dạng 2k + 1 với k ∈ Z
suy ra n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2) + 1 lẻ (mâu thuẫn với giả thiết n2 chẵn)
do đó n chẵn nên nếu n2 chẵn thì n chẵn
Giả sử n là 1 số tự nhiên lẻ
khi đó n có dạng :2k+1 ,k∈N
ta có:n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1 là 1 số lẻ (mâu thuẫn)
vậy nếu n2 chẵn thì n chẵn
Ta có n2 = n.n
mà n2 chẵn
=> n.n chẵn
=> n.n 2
=> có ít nhất 1 số chia hết cho 2
mà n = n => n 2 => n chẵn (đpcm)
Giả sử n lẻ ta có :
n sẽ có dạng là \(n=2k+1\) (k \(\inℕ\))
Suy ra : \(n^2=\left(2k+1\right)^2\)
\(\Rightarrow n^2=4k^2+4k+1\)
\(\Rightarrow n^2=2\times\left(2k^2+2k\right)+1\)
Mà \(2\times\left(2k^2+2k\right)⋮2\) nên \(2\times\left(2k^2+2k\right)+1\) là một số lẻ suy ra n2 là số lẻ (Mâu thuẫn)
Vậy nếu n chẵn thì n2 chẵn
Giả sử lẻ, khi đó có dạng với .
Suy ra lẻ (mâu thuẫn với giả thiết chẵn).
Do đó chẵn nên nếu chẵn thì chẵn
Chứng minh n^2 chẵn thì n chẵn. Giả sử n=4 ta có 4^2=16 hay n=6 ta được 6^2=36 =>nếu n chẵn thì n^2 chẵn hay n^2 chẵn thì n chẵn
Giả sử n là số lẻ
=> n = 2k + 1
=> n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2 (2k² + 2k) + 1
Vì 2 (2k² + 2k) là số chẵn
Nên 2 (2k² + 2k) + 1 là số lẻ
Giả sử nếu \(n^2\) chẵn thì n lẻ
Vậy n lẻ thì n có dạng n=2k+1 với kϵ\(ℕ\)
Ta có: \(n^2\)=\(\left(2k+1\right)^2\)=\(4k^2\)+4k+1=2(\(2k^2\)+2k)+1 lẻ (vô lý)
⇒ Trường hợp này loại
Vậy nếu \(n^2\) chẵn thì n chẵn
Giả sử lẻ, khi đó có dạng với .
Suy ra lẻ (mâu thuẫn với giả thiết chẵn).
Do đó chẵn nên nếu chẵn thì chẵn.
Ta có n2 = n.n
mà n2 chẵn => n.n chẵn
=> n.n ⋮2
=> có ít nhất 1 số chia hết cho 2
mà n = n => n ⋮2
=> n chẵn (đpcm)
Ta có n2 = n.n
mà n2 chẵn => n.n chẵn
=> n.n ⋮2
=> có ít nhất 1 số chia hết cho 2
mà n = n => n ⋮2
=> n chẵn (đpcm)