Dễ thấy a,b,c là độ dài của tam giác nên
a + b - c > 0 ; b + c - a > 0 ; c+a-b > 0
Theo Cauchy-Schwarz thì
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c = 1
Ta có: Vì chu vi của tam giác là 3 nên a + b + c = 3
Xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\) và \(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{2}{a}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(2VT\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
cách khác @@
Theo AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\left(a+b-c\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{a+b-c}.\frac{a+b-c}{1}}=2\)
Tương tự \(\frac{1}{b+c-a}+\left(b+c-a\right)\ge2\)
\(\frac{1}{c+a-b}+\left(c+a-b\right)\ge2\)
Cộng theo vế : \(LHS+2\left(a+b+c\right)-a-b-c\ge6\)
\(< =>LHS+3\ge6< =>LHS\ge3\)
Dấu = xảy ra \(< =>a=b=c=1\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Đặt a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z thì x+y+z=(a+b-c)+(b+c-a)+(c+a-b)=2(a+b+c)-(a+b+c)=a+b+c=3
Do a.b.c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên x,y,z>0
Khi đó ta có:\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\)
\(=\left(1+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\left(1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\ge3+3.2=9\)(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge3\)
Dấu "="xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
vế trái mình ghi đó là vế trái của bđt cần chứng minh nhé
Theo đề ta có : a, b, c là các độ dài ba cạnh tam giác nên a, b, c không âm và a + b + c = 3
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{9}{a+b-c+b+c-a+c+a-b}\)
\(=\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)
