Giải :
a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
\(\Rightarrow\)2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc
\(\Rightarrow\)2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
\(\Rightarrow\)( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2ac + c2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) = 0
\(\Rightarrow\)( a - b )2 + ( a - c )2 + ( b - c )2 = 0
Vì ( a - b )2 \(\ge\)0 với mọi a , b ; ( a - c )2 \(\ge\)với mọi a , c ; ( b - c )2 \(\ge\)0 với mọi b , c
Do đó ( a - b )2 + ( a - c )2 + ( b - c )2 = 0 khi a - b = a - c = b - c = 0
\(\Rightarrow\)a = b = c
ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
tương tự ta có
\(b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ac\)
cộng từng vế của 3 bđt cùng chiều ta có
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c(ĐPCM)
