Question

chứng minh rằng nếu 2n+1,3n+1 là số chính phương  thì n chia hết 40 

Answer 1

Đặt 2n+1 = k^2

3n+1 = m^2

Có : m^2 + k^2 = 5n + 2 

=> m^2 + k^2 chia 5 dư 2

Giả sử m^2 chia hết cho 5

và k^2 chia 5 dư 2 

-> chữ số tận cùng của k^2 là 2 hoặc 7 (loại)

=> m^2 chia 5 dư 1 

k^2 chia 5 dư 1 

=> m^2 - k^2 chia hết cho 5

=> n chia hết cho 5     (1)

Có: 2n+1 là số lẻ

=> k^2 lẻ

=> k lẻ

Đặt k = 2t+1

=> 2n+1 = (2t+1)^2

=> n = 2t(t+1)

=> n chia hết cho 2 

=> 3n +1 lẻ

=> k^2 lẻ 

=> k lẻ

k^2 = 3n+1

=> 3n = (k-1)(k+1)

Vì k lẻ => (k-1)(k+1) là 2 số chẵn liên tiếp 

=> 3n chia hết cho 8 

mà 3 không chia hết cho 8 

=> n chia hết cho 8 (2)

Từ (1) và (2) ta có : n chia hết cho 40