Câu hỏi của • Zero ✰ •

Question

Chứng minh rằng một đa thức bậc hai : P( x ) = ax^2 + bx +c với a khác 0 luôn ko có quá 2 nghiệm phân biệt

I - Vy Nguyễn · Accepted Answer

Giả sử P( x ) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 ; x3 $	\implies$ P( x1 ) = 0 $\iff$ ax12 + bx1 + c = 0 ( 1 )          P( x2 ) = 0 $\iff$ ax22 + bx2 + c = 0 ( 2 )          P( x3 ) = 0 $\iff$ ax32 + bx3 + c = 0 ( 3 )+)Lấy ( 1 ) - ( 2 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax22 + bx2 + c ) = 0                                                $	\implies$  ax12 + bx1 - ax22 - bx2  = 0                                                $	\implies$ ( ax12 - ax22 ) + ( bx1 - bx2 ) = 0                                                $	\implies$ a( x12 - x22 ) + b( x1 - x2 ) = 0                                                $	\implies$ a( x1 - x2 )( x1 + x2 ) + b(x1 - x2 ) = 0                                                $	\implies$ ( x1 - x2 ) [ a( x1 + x2 ) + b ] = 0 Mà x1 - x2 khác 0   $	\implies$   a( x1 + x2 ) + b = 0 ( 4 )+)Lấy ( 1 ) - ( 3 )  vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax32 + bx3 + c ) = 0                                                   $	\implies$ ax12 + bx1 - ax32 - bx3  = 0                                                $	\implies$ ( ax12 - ax32 ) + ( bx1 - bx3 ) = 0                                                $	\implies$ a( x12 - x32 ) + b( x1 - x3 ) = 0                                                $	\implies$ a( x1 - x3 )( x1 + x3 ) + b(x1 - x3 ) = 0                                                $	\implies$ ( x1 - x3 ) [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0 Mà x1 - x3 khác 0   $	\implies$   a( x1 + x3 ) + b = 0 ( 5 )            +)Lấy ( 4 ) - ( 5 )  vế với vế ta được : [ a( x1 + x2 ) + b ] - [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0                                                 $	\implies$ a( x1 + x2 ) + b - a( x1 + x3 ) - b  = 0                                                $	\implies$ a( x1 + x2 ) - a( x1 + x3 ) = 0                                                $	\implies$ a( x1 + x2 -  x1 - x3 ) = 0                                                 $	\implies$ a ( x2 - x3 ) = 0  Mà x2 - x3 khác 0   $	\implies$   a = 0 ( vô lý )  Vậy P( x ) luôn không có quá 2 nghiệm phân biệt                      Câu trả lời: Giả sử P( x ) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 ; x3 $	\implies$ P( x1 ) = 0 $\iff$ ax12 + bx1 + c = 0 ( 1 )          P( x2 ) = 0 $\iff$ ax22 + bx2 + c = 0 ( 2 )          P( x3 ) = 0 $\iff$ ax32 + bx3 + c = 0 ( 3 )+)Lấy ( 1 ) - ( 2 ) vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax22 + bx2 + c ) = 0                                                $	\implies$  ax12 + bx1 - ax22 - bx2  = 0                                                $	\implies$ ( ax12 - ax22 ) + ( bx1 - bx2 ) = 0                                                $	\implies$ a( x12 - x22 ) + b( x1 - x2 ) = 0                                                $	\implies$ a( x1 - x2 )( x1 + x2 ) + b(x1 - x2 ) = 0                                                $	\implies$ ( x1 - x2 ) [ a( x1 + x2 ) + b ] = 0 Mà x1 - x2 khác 0   $	\implies$   a( x1 + x2 ) + b = 0 ( 4 )+)Lấy ( 1 ) - ( 3 )  vế với vế ta được : ( ax12 + bx1 + c ) - ( ax32 + bx3 + c ) = 0                                                   $	\implies$ ax12 + bx1 - ax32 - bx3  = 0                                                $	\implies$ ( ax12 - ax32 ) + ( bx1 - bx3 ) = 0                                                $	\implies$ a( x12 - x32 ) + b( x1 - x3 ) = 0                                                $	\implies$ a( x1 - x3 )( x1 + x3 ) + b(x1 - x3 ) = 0                                                $	\implies$ ( x1 - x3 ) [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0 Mà x1 - x3 khác 0   $	\implies$   a( x1 + x3 ) + b = 0 ( 5 )            +)Lấy ( 4 ) - ( 5 )  vế với vế ta được : [ a( x1 + x2 ) + b ] - [ a( x1 + x3 ) + b ] = 0                                                 $	\implies$ a( x1 + x2 ) + b - a( x1 + x3 ) - b  = 0                                                $	\implies$ a( x1 + x2 ) - a( x1 + x3 ) = 0                                                $	\implies$ a( x1 + x2 -  x1 - x3 ) = 0                                                 $	\implies$ a ( x2 - x3 ) = 0  Mà x2 - x3 khác 0   $	\implies$   a = 0 ( vô lý )  Vậy P( x ) luôn không có quá 2 nghiệm phân biệt

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)