Question

Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại 1 số tự nhiên n để $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>1000$   \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}>1000\)

Answer 1

Viết: 

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2^3}\right)+\left(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{2^4}\right)+...+\frac{1}{n}\)

Nhận xét: \(\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2^2}.2\)

               \(\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2^3}>\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2^3}.2^2\)

               \(\frac{1}{9}+...+\frac{1}{2^4}>\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^4}=\frac{1}{2^4}.2^3\)

....

Tiếp tục như vậy, ta được Vế trái > \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}.2^1+\frac{1}{2^3}.2^2+\frac{1}{2^4}.2^3+...+\frac{1}{2^k}.2^{k-1}+....=1+\frac{1}{2}.k+...\)

Để vế trái > 1000 =>  k > 1998 => ta có thể chọn k = 1999

Khi đó ,có thể  chọn n = 2^k = 2¹⁹⁹⁹

Vậy luôn tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn yc

Answer 2

bạn bạn trả lời hay wa!!!!!!!! thanks nha!!!!!!!!!!!!!!!!!!!