Bây giờ mình sẽ trả lời chính câu hỏi của mình để các bạn tham khảo:
Đặt: \(m=3k+r\) với \(0\le r\le2\)và \(n=3t+s\)
\(\Rightarrow x^m+x^n+1=x^{3k+r}+x^{3t+s}+1\)\(=x^{3k}.x^r-x^r+x^{3t}.x^s-x^s+x^r+x^s+1\)
\(=x^r\left(x^{3t}-1\right)+x^s\left(x^{3t}-1\right)+x^r+x^s+1\)
Ta thấy: \(\left(x^{3k-1}\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)và \(\left(x^{3t}-1\right)\) chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)
Vậy: \(\left(x^m+x^n+1\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)với \(0\le r;s\le2\)
\(\Leftrightarrow r=2;x=1\Rightarrow m=3k+2;n=3t+1\)
\(r=1;s=2\Rightarrow m=3k+1;n=3t+2\)
\(\Leftrightarrow mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\)
\(mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\)
\(\Rightarrow mn-2\)chia hết cho \(3\).
Áp dụng:\(m=7;n=2\Rightarrow mn-2=12\)chia hết cho 3
\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)\) chia hết cho \(\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right):\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)
Bạn chứng minh hộ mình
\(x^{3t}-1\) chia hết cho \(x^2+x+1\) với
