Gọi 2k+1 va 2p+1 là các số lẻ
=> Hiệu bình phương của chúng là :
( 2k + 1 )^2 - ( 2p+11)^2 = ( 2k + 1+2p+1)( 2k + 1-2p-1)= ( 2k +2p+2)( 2k -2p)=4(k+p+1)(k-p)
=4(k+p+1)(k+p-2p)=4(k+p+1)(k+p)-8p(k+p)...
Vì 4(k+p+1)(k+p) chia hết cho 8 và 8p(k+p+1) chia hết cho 8
=> ( 2k + 1 )^2 - ( 2p+11)^2 chia hết cho 8
=> đpcm
Cách 1:
Gọi 2 số lẻ liên tiếp là : 2k+1 ; 2k-1 (k là số tự nhiên; k>0)
Ta có: (2k+1)2−(2k−1)2(2k+1)2−(2k−1)2
= 4k2+4k+1−(4k2−4k+1)4k2+4k+1−(4k2−4k+1)
=8k⋮88k⋮8
\Rightarrow đpcm
Cách 2
Gọi số lẻ bất kỳ là : 2k+1
Xét (2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1
Mà k; k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp
Nên 4k(k+1)+1 chia 8 dư 1
Do vậy bình phương một số lẻ bất kỳ chia 8 dư 1
Ta mở rộng bài toán
Hiệu bình phương 2 số lẻ bất kỳ đều chia hết cho 8
