Question

Chứng Minh rằng :\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)

Với \(\forall a,b,c>0\)

Answer 1

Vì a;b;c > 0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{ab}{a+b}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2}\le\frac{\frac{a+b}{2}}{2}=\frac{a+b}{4}\) (1)

\(\frac{bc}{b+c}\le\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{bc}}{2}\le\frac{\frac{b+c}{2}}{2}=\frac{b+c}{4}\) (2)

\(\frac{ac}{a+c}\le\frac{ac}{2\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{ac}}{2}\le\frac{\frac{a+c}{2}}{2}=\frac{a+c}{4}\) (3)

Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) lại ta được :

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)