Ta có:
Từ \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương \(a,b\))
nên nhân \(\frac{1}{4\left(a+b\right)}\) vào cả hai vế của bđt trên, ta được:
\(\frac{a+b}{4}\ge\frac{ab}{a+b}\) \(\left(1\right)\)
Tương tự, ta cũng có \(\frac{b+c}{4}\ge\frac{bc}{b+c}\) \(\left(2\right)\) và \(\frac{c+a}{4}\ge\frac{ca}{c+a}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế của bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}\ge\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\), tức \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)
Dấu \("="\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
