Gọi a = 111...1 và b = 444...4
Đặt 111...1 ( 2n chữ số 1 ) = k x 10n + k
Vì 10n = 9k + 1
111...1 ( 2n chữ số 1 ) = k x ( 9k + 1 ) + k = 9k2 + k + k = 9k2 + 2k
Ta có: 444...4 ( n chữ số 4 ) = 4k
Vậy a + b + 1 = 9k2 + 2k + 4k + 1 = ( 3k )2 + 2 x 3k x 1 + 12 = ( 3k + 1 )2
Vậy A = a + b + 1 là số chính phương.