Question

Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a) \(\dfrac{3n+1}{5n+2}\)                         b) \(\dfrac{12n+1}{30n+2}\)

c)* \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)              d) \(\dfrac{2n+1}{2n^2-1}\)

 

 

Answer 1

a) Gọi ƯCLN(3n+1;5n+2) là d

ta có: 3n+1 chia hết cho d => 15n + 5 chia hết cho d

5n + 2 chia hết cho d => 15n + 6 chia hết cho d

=> 15n + 6 - 15n - 5 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> 3n+1/5n+2 là phân số tối giản

Answer 2

gọi d là ƯC(3n + 1; 5n + 2)  (d thuộc Z)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}3x+1⋮d\\5n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(3n+1\right)⋮d\\3\left(5n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}15n+5⋮d\\15n+6⋮d\end{cases}}}}\)

=> (15n + 5) - (15n + 6) ⋮ d

=> 15n + 5 - 15n - 6 ⋮ d

=> (15n - 15n) - (6 - 5) ⋮ d

=> 0 - 1 ⋮ d

=> 1 ⋮ d

=> d = 1 hoặc d = -1

vậy \(\frac{3n+1}{5n+2}\) là phân số tối giản với mọi n thuộc N

Answer 3

b) Gọi ƯCLN(12n+1;30n+2) là d

ta có: 12n + 1 chia hết cho d => 60n + 5 chia hết cho d

30n+2 chia hết cho d => 60n + 4 chia hết cho d

=> 60n +5 - 60n-4 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> 12n+1/30n+2 là p/s tối giản

Answer 4

a) \(\frac{3n+1}{5n+2}\)là phần số tối giản <=> ƯCLN(3n + 1,5n + 2) = {1; -1}

Gọi ƯCLN(3n + 1,5n + 1) là d

=> \(3n+1⋮d\) => \(5.\left(3n+1\right)⋮d\) => \(15n+5⋮d\)

      \(5n+2⋮d\) => \(3.\left(5n+2\right)⋮d\)=> \(15n+6⋮d\)

=> (15n + 5) - (15n + 6) = 1 \(⋮\)d => d \(\in\){1; -1}

Vậy  \(\frac{3n+1}{5n+2}\)là phần số tối giản