Question

Chứng minh rằng :

                    \(a+b+c\le\frac{1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

với a, b, c là những số dương tùy ý

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2b+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}=2a\\b^2c+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2c}{c}}=2b\\c^2a+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{c^2a}{a}}=2c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\frac{\Rightarrow1}{2}\left(a^2b+b^2c+c^2a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge a+b+c\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Answer 2

\(a^2b+\frac{1}{b}-2a\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}-2a=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{2}\left(a^2b+\frac{1}{b}\right)\ge a\)

phần còn lại mình dành cho bạn :)