Question

chứng minh rằng:  a⁵-a  chia hết cho 30

Answer 1

a⁵ - a = a( a⁴ + 1)

= a[ ( a²)² + 1² ]

= n ( n² - 1)( n² + 1)

= n( n - 1)( n + 1) ( n² + 1) : hết cho 2 và 3

= n( n - 1)( n + 1) ( n² - 2² + 5)

= n( n - 1)( n + 1)( n - 2) ( n + 2) + 5( n - 1)( n + 1)n : hết cho 5

mà ( 2 ; 3 ; 5) = 1 => a⁵ - a : hết cho 2 . 3 .5

Answer 2

a⁵-a=a(a⁴-1)=a(a²-1)(a²+1)=a(a-1)(a+1)(a²-4+5)=a(a-1)(a+1)(a²-4)+5a(a-1)(a+1)

=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)

Do a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 2;1 số chie hết cho 3 và 1 số chia hết cho 5

=>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2) chia hết cho 30

a(a-1)(a+1) chia hết cho 6 do là tích 3 số nguyên liên tiếp

=>5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30

=>a(a-1)(a+1)(a²-4)+5a(a-1)(a+1) chia hết cho 30

=>đpcm