Đặt \(P=a^2+b^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta được:
\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với bộ \(\left(a+b\right)^2\) và \(\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2\), ta có:
\(P=\left(a+b\right)^2+\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2-2ab\ge2\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(\frac{1+ab}{a+b}\right)^2}-2ab=2\left(1+ab\right)-2ab=2\)
Cho a, b khác 0. Chứng minh:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-1\ge2\left(\frac{a^2-b^2}{ab}\right)\)
Cho a + b\(\ne\)0. Chứng minh rằng \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2\ge2\)
cho ba số a,b,c khác nhau:
a)tính \(\frac{ab}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}+\frac{ca}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)
b)chứng minh rằng
\(\frac{a^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b^2}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a-b\right)^2}\ge2\)
Hôm nay mình lại post bài lên nữa đây :D( lần này thì các bạn khỏi lo sai đề giống lần trước nhé,lần trước mình bất cẩn quá :D )
1.Với \(a,b,c>0\).Chứng minh:
\(\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)+3abc\right]^2\ge2\left[a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)^2\right]\left[a^3b+b^3c+c^3a+abc\left(a+b+c\right)\right]\)
2.Với \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{cases}}\).Chứng minh:
\(\frac{a}{b^2+c}+\frac{b}{c^2+a}+\frac{c}{a^2+b}\ge\frac{3}{2}\)
3.Với \(a,b,c>0\).Chứng minh:
\(ab\left(b^2+ca\right)+bc\left(c^2+ab\right)+ca\left(a^2+bc\right)\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
Bài tập 3* . Chứng minh rằng :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\) với x, y > 0
Bài tập 5* . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)với \(0\le a,b,c\le1\)
Bài tập 9* . Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)với a, b, c > 0
1, Cho x.y=1; x > y. Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2+y^2}{x-y}\ge2\sqrt{2}\)
2, CMR : \(\left(a^{10}+b^{10}\right).\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a^8+b^8\right).\left(a^4+b^4\right)\)với mọi a,b
Giúp mình nha
Cho a,b khác 0. CMR \(\frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2}-1\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)\)
Chứng minh: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\ge2\) với mọi a; b khác 0
Bài 1:Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) và x,y,z khác 0.Chứng minh \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+x\right)^2\)
Bài 2: Chúng minh rằng:\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\)thì a=b=c
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì A=\(n^3\cdot\left(\left(n^2-7\right)^2\right)-36n\)chia hết cho 105
