Question

chứng minh rằng a²+b²+1 lớn hơn hoặc bằng ab+a+b với mọi a,b

Answer 1

Ta có :

\(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\)(1)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\Rightarrow b^2+1\ge2b\)(2)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(3)

Cộng các vế tương ứng của (1);(2);(3) lại ta được :

\(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(a^2+b^2\right)\ge2a+2b+2ab\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2a+2b+2ab\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)(đpcm)