Vừa post xong
Lời giải như sau: Kí hiệu \(n!=1\cdot2\cdots n\) là tích \(n\) số nguyên dương đầu tiên. Khi đó ta sẽ có
Tử số bằng \(\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot3\right)\left(2\cdot5\right)\cdots\left(2\cdot\left(2n-1\right)\right)=2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right).\)
Mẫu số bằng \(\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\left(n+5\right)\cdots\left(2n\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}=\frac{\left(2n\right)!}{n!}\cdot\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}\).
Suy ra \(a_n=\frac{2^n\cdot1\cdot3\cdot5\cdots\left(2n-1\right)}{\left(2n\right)!}\cdot n!\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)
\(=\frac{2^n\cdot n!}{\left(2\cdot1\right)\left(2\cdot2\right)\cdots\left(2\cdot n\right)}\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\).
Cuối cùng ta có \(a_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)
\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1=y\left(y+2\right)+1=\left(y+1\right)^2\)
ở đó \(y=n^2+5n+4\) là số nguyên. Vậy \(a_n\) là số chính phương.
Tại sao chỗ công thức toán lại bị mất vậy ạ?
Em làm như sau nhé :)
Ta có: \(a_n=\frac{2^n.1.3.5...\left(2n-1\right)\left(n+4\right)!}{\left(2n\right)!}+1\)
\(a_n=\frac{2^n\left(n+4\right)!}{2.4.6...2n}+1=\frac{2^n.1.2.3...\left(n+4\right)}{2^n.1.2.3.4...n}\)
\(a_n=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1=\left(n^2+5n+5\right)^2\)
\(\Rightarrow a_n=\frac{2.6.10...\left(4n-2\right)}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\text{ là SCP}\)
Chúc em học tốt nhé :)
