Question

chứng minh rằng A= n\(^5\)- n chia hết cho 30 với n thuộc Z

Answer 1

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Answer 2

Ta có: n⁵ – n = n.(n⁴ – 1) = n.(n⁴ – n² + n² – 1)

= n.[(n⁴ – n²) + (n² – 1)]

= n.[n²(n² – 1) + (n² – 1)]

= n.(n² – 1).(n² + 1)

= n.(n² – n + n – 1)(n² + 1)

= n.[(n² – n) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n² + 1)

= n.(n – 1).(n + 1).(n² + 1)

Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n⁵ – n chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: n⁵ = n⁴⁺¹ có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n

=> n⁵ – n có chữ số tận cùng bằng 0.

=> n⁵ – n chia hết cho 10 (2)

Từ (1), (2) suy ra: n⁵ – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n⁵ – n chia hết cho 30 (đpcm).

Answer 3

Áp dụng hằng đẳng thức có dạng a²-b²=(a-b)(a+b) vào bài này ta có 

n⁵-n=n.(n⁴-1)=n(n²-1)(n²+1)

= n(n-1)(n+1)(n²+1)

= n(n-1)(n+1)(n²-4+5)

= n(n-1)(n+1)(n²-4)+5n(n-1)(n+1)

=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5n(n-1)(n+1)

Nhận thấy n-2;n-1;n;n+1;n+2 là 5 số nguyên liên tiếp nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 2,3,5

Mà(2;3;5)=1 =>  (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30 (1)

Lại có n-1;n;n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên n(n-1)(n+1) chia hết cho 2;3

Mà (2;3)=1 => n(n-1)(n+1) chia hết cho 6

Và (5;6)=1 => 5n(n-1)(n+1) chia hết cho 30(2)

Từ (1) và (2) => n⁵-n chia hết cho 30 với mọi x thuộc Z