Question

Chứng minh rằng A chia hết cho B với :

A = 1³ +  2³  + 3³ + ... + 99³ + 100³

B = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

Answer 1

câu dễ trước nhé:

B = 1 + 2+ 3 +4 +5 +......+ 100

B có số hạng là:

(100 - 1 ) : 1 + 1 = 100 số hạng

B có tổng là:

(100 + 1 ) x 100 : 2 = 5050

A = 1³ + 2³ + 3³ +.......+100³                                                                                                                                                                        A= 1 + ( 2 -1 ) x2 x ( 2 + 1) + 2 +( 3 - 1) x 3 x( 3 + 1 ) +3 +.....+( 100-1) x 100 x ( 100 +1 ) + 100  ( vì 1³ =1, 2 ³ = ( 2-1 ) x 2 x ( 2 + 1) +2 ,....) 

A =1 + 1x 2 x3 + 2 + 2 x 3 x 4 + 3 +........+ 99 x 100 x 101 + 100

A = ( 1 x 2 x3 + 2 x3 x4 + x3x4 x5 +.....+ 99 x100 x101) - ( 1 +2 +3+ 4 +....+ 100)

đặt M = 1 x 2 x3 + 2 x3 x4 + ......+ 99 x100x101 

   M x 4 = 1 x2 x3 x4 + 2 x3 x4 x4 + ......+ 99 x100 x101 x4

   M x 4 = 1 x 2 x3 x4 + 2 x 3 x4 x( 5 - 1) +........+  99 x 100 x 101 x ( 102 - 98)

   M x 4 = 1 x 2 x3 x4 + 2 x 3 x4 x 5 - 1 x 2 x3 x4 +.....+ 99 x 100 101 x102 - 98 x99 x100 x101

   M x 4 = 99 x100 x101 x102

   M x 4 =101989800

   M       = 101989800: 4

   M       = 25497450

đặt N = 1 + 2 +3 + 4 + 5 +.....+ 100 

đáp án là câu B phía trên = 5050

A = M-N = 25497450 - 5050=25487350

Answer 2

ta có A = 1^{3 +}2³+....+100³

          ^{B  = 1 + 2 + 3 + ...+ 100}

^{vì mỗi số hạng của A đều là lập phương của 1 số hạng ở B}

^{theo tính chất chia hết của tổng thì số hạng nào cũng chia hết cho 1 số thì tổng cũng chia hết cho só đó}

^{vậy A chia hết cho B}