Với mọi \(x\in R\) ta có :
\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2a}{2\left(a^2+1\right)}\le\frac{a^2+1}{2\left(a^2+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow2a\le a^2+1\) ( do \(2\left(a^2+1\right)>0\) )
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\) là bất đẳng thức đúng :
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\) với mọi \(a\in R\)
Chúc bạn học tốt !!!
Miền giá trị thử ạ:)
Đặt \(f=\frac{a}{a^2+1}\)
Ta có:\(f\left(a^2+1\right)=a\)
\(\Leftrightarrow fa^2+f-a=0\)
Với \(f=0\Rightarrow a=0\)
Với \(f\ne0\) thì \(f\) là pt bậc 2 ẩn a nên \(\Delta_a=1-4f^2\ge0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le\left|f\right|\le\frac{1}{2}\)
\(\left|f\right|\le\frac{1}{2}\) Dấu "=" xảy ra tại \(a=\frac{1}{2f}=1\)
P/S:E mới học nên ko chắc đâu ạ
