\(7.5^{2n}+12.6^n=7.25^n+12.6^n\)
\(=7.25^n-7.6^n+19.6^n\)
\(=7\left(25^n-6^n\right)+19.6^n\)
Do \(25^n-16^n⋮\left(25-16\right)=19\);\(19⋮19\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Vì 25 đồng dư với 6 (mod 19) nên 25n đồng dư với 6n (mod 19)
Suy ra: 7.52n +12.6n = 7.25n + 12.6n đồng dư với 7.6n + 12.6n (mod 19)
Mà 7.6n + 12.6n = 19.6n đồng dư với 0 (mod 19)
Suy ra: (7.52n + 12.6n ) chia hết cho 19 (ĐCCM)
Ta có : \(5^{2n}=\left(5^2\right)^n=25^n\Rightarrow A=7.25^n+12.6^n\)
Vì : \(25\equiv6\) ( mod 19 ) nên \(25^n\equiv6^n\) ( mod 19 )
\(\Rightarrow A\equiv7.6^n+12.6^n\) ( mod 19 ) \(\Leftrightarrow A\equiv19.6^n\) ( mod 19 )
suy ra : \(A\equiv0\) ( mod 19 )
Vậy : \(A⋮19\)
ta có : 19=7+12 mà 7.5^2n chia hết cho 7, 12.6^n chia hết cho 12 => [ 7.5^2n + 12.6^n ] chia hết cho [7+12] <=> [7.5^2n + 12.6^n ] chia hết cho 19 .
\(TACO:::::::::\)
\(25\equiv6\left(mod19\right)\Rightarrow5^2\equiv6\left(mod19\right)\Rightarrow5^{2n}\equiv6^n\left(mod19\right)\)
\(\Rightarrow7.5^{2n}\equiv7.6^n\left(mod19\right)\)
\(6\equiv6\left(mod19\right)\Rightarrow6^n\equiv6^n\left(mod19\right)\Rightarrow12.6^n\equiv6^n.12\left(mod19\right)\)
\(\Rightarrow\left(7.5^{2n}+12.6^n\right)\equiv\left(6^n.7+6^n.12\right)\left(mod19\right)\equiv\left(6^n.19\right)\left(mod19\right)⋮19\left(DPCM\right)\)
