Question

Chứng minh rằng :

a, 10³⁰ < 2¹⁰⁰< 10³¹

b, Từ đó suy ra 2¹⁰⁰ là số có bao nhiêu chữ số?

Answer 1

\(a)\)Ta có : 

\(10^{30}=\left(10^3\right)^{10}=1000^{10}< 1024^{10}=\left(2^{10}\right)^{10}=2^{100}\) \(\left(1\right)\)

\(2^{100}=2^{31}.2^6.2^{63}=2^{31}.64.\left(2^9\right)^7=2^{31}.64.512^7\) \(\left(2\right)\)

\(10^{31}=2^{31}.5^3.5^{28}=2^{31}.125.\left(5^4\right)^7=2^{31}.125.625^7\) \(\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(10^{30}< 2^{100}< 10^{31}\) ( đocm ) 

\(b)\) Ta có : 

\(10^{30}\) là số nhỏ nhất có 31 chữ số 

\(10^{31}\) là số nhỏ nhất có 32 chữ số 

Mà \(10^{30}< 2^{100}< 10^{31}\) 

\(\Rightarrow\)\(2^{100}\) có 31 chữ số 

Vậy \(2^{100}\) có 31 chữ số 

Chúc bạn học tốt ~