\(M=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+...+\left(4^{2010}+4^{2011}+4^{2012}\right)\)
\(M=21+4^3.\left(1+4+4^2\right)+...+4^{2010}.\left(1+4+4^2\right)\)
\(M=21+4^3.21+...+4^{2010}.21\)
\(M=21.\left(1+4^3+....+4^{2010}\right)⋮21\)
a) (1+4+42) + (43+45+46) +.....+ (42010+42011+42012)
= 21 + 43.(1+4+42) +.....+ 42010.(1+ 4 + 42)
= 21 + 43. 21 +....+ 42010. 21
= 21. (1+ 43 +......+ 42010 )
=> tổng chia hết cho 21
\(1+4+4^2+4^3+....+4^{2012}\)
\(=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+....+\left(4^{2010}+4^{2011}+4^{2012}\right)\)
\(=16+4^3\left(1+4+4^2\right)+....+4^{2010}\left(1+4+4^2\right)\)
\(=21+4^3\cdot21+....+4^{2010}\cdot21\)
\(=21\left(1+4^3+...+4^{2010}\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
