Question

Chứng minh rằng : 3n+1 và 4n+1 (n thuộc N) là  2 số nguyên tố cùng nhau

Answer 1

Gọi ƯCNL(3n+1 ; 4n+1) = d

Ta có : 3n + 1 chia hết cho d  =>  4(3n + 1) chia hết cho d

            4n + 1 chia hết cho d  =>  3(4n + 1) chia hết cho d

=> 4(3n + 1) - 3(4n + 1) chia hết cho d

=> (12n + 4) - (12n + 3) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 3n + 1 và 4n + 1 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Answer 2

Gọi d là ƯCLN(3n+1;4n+1)

       3n+1 chia hết cho d             4(3n+1) chia hết cho d       12n+4 chia hết cho d(1)

=>{                                    =>{                                     =>

       4n+1 chia hết cho d            3(4n+1) chia hết cho d         12n+3 chia hết cho d(2)

Lấy (1)-(2) ta được : (12n+4) - (12n+3) chia hết cho d <=>1chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)=>d thuộc Ư(1) => d thuộc {+-1} vì d là ƯCLN=> d=1=> 3n+1 và 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau

 

Answer 3

Đặt ƯCLN(3n + 1;4n + 1) = d

Ta có:3n + 1 chia hết cho d 

4n + 1 chia hết cho d

=> 4(3n + 1 - 3(4n + 1) chia hết cho d

12n + 4 - 12n - 3 chia hết cho d

1 chia hết cho d => d \(\in\)Ư(1) = 1

Vậy: ƯCLN(3n + 1;4n + 1) = 1 hay 3n + 1 và 4n + 1 là 2 nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Answer 4

Ta có : 3n + 1 chia hết cho d  =>  4(3n + 1) chia hết cho d

            4n + 1 chia hết cho d  =>  3(4n + 1) chia hết cho d

=> 4(3n + 1) - 3(4n + 1) chia hết cho d

=> (12n + 4) - (12n + 3) chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 3n + 1 và 4n + 1 nguyên tố cùng nhau (đpcm)