Giả sử 3n + 1 và 4n + 1 không là 2 số nguyên tố cùng nhau. Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên dương k lớn hơn 1 sao cho k là ước chung của cả 3n + 1 và 4n + 1.
Vì k là ước chung của cả 3n + 1 và 4n + 1, ta có:
3n + 1 = ak (với a là một số nguyên)
4n + 1 = bk (với b là một số nguyên)
Từ đó, ta suy ra:
4(3n + 1) - 3(4n + 1) = 4ak - 3bk
12n + 4 - 12n - 3 = k(4a - 3b)
1 = k(4a - 3b)
Vì 1 là số nguyên tố duy nhất có 2 ước là 1 và chính nó, nên k phải bằng 1 hoặc -1.
Nếu k = 1, ta có: 4a - 3b = 1
Nếu k = -1, ta có: 4a - 3b = -1
Trong cả hai trường hợp, ta đều có phương trình tuyến tính với ẩn a và b. Tuy nhiên, không thể tìm được giá trị nguyên của a và b để phương trình này đúng.
Do đó, giả sử ban đầu là sai. Vậy ta kết luận rằng 3n + 1 và 4n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
9:38
Gọi ƯCLN(3n+1,4n+1) là d (d khác 0)
=> \(3n+1⋮d;4n+1⋮d\)
=> \(4\left(3n+1\right)⋮d;3\left(4n+1\right)⋮d\)
=> \(12n+4⋮d;12n+3⋮d\)
=> \(\left(12n+4\right)-\left(12n+3\right)⋮d\)
=> \(1⋮d\)
=> \(d=1\)
Vậy 3n+1; 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau
