Question

chứng minh rằng (2^{2^6n+2}+3) chia hết cho 19 với mọi n thuộc N

Answer 1

Lời giải:

$2^3\equiv -1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n}\equiv (-1)^{2n}\equiv 1\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=2^{6n}.4\equiv 4\pmod 9$

$\Rightarrow 2^{6n+2}=9k+4$ với $k$ tự nhiên.

Vì $2^{6n+2}$ chẵn nên $9k$ chẵn $\Rightarrow k$ chẵn.

Khi đó:
\(2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\)

$2^9\equiv -1\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{9k}\equiv (-1)^k\equiv 1\pmod {19}$ (do $k$ chẵn)

$\Rightarrow 2^{9k+4}\equiv 16\pmod {19}$

$\Rightarrow 2^{2^{6n+2}}+3=2^{9k+4}+3\equiv 16+3\equiv 19\equiv 0\pmod {19}$

Vậy $2^{2^{6n+2}}+3\vdots 19$