Question

Chứng minh rằng: 

 \(0,5\left(2007^{2005}-2003^{2003}\right)\) là số nguyên.

Answer 1

Phải chứng minh 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ có tận cùng là 0

Ta có:

\(2007^{2005}-2003^{2003}=2007^{2004}.2007-2003^{2000}.2003^3\)

                                        \(=\left(2007^4\right)^{501}.2007-\left(2003^4\right)^{500}.\left(...7\right)\)

                                        \(=\left(...1\right)^{501}.2007-\left(...1\right)^{500}.\left(...7\right)\)

                                        \(=\left(...1\right).2007-\left(...1\right).\left(...7\right)\)

                                         \(=\left(...7\right)-\left(...7\right)\)

                                          \(=\left(...0\right)\)

=> 0,5.(2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³) là số nguyên

=> đpcm

Answer 2

2007^2005 là số lẻ

2003^2003 là số lẻ

=>2007^2005-2003^2003 là số chẵn chia hết cho 2

=>0,5(2007^2005-2003^2003)=(2007^2005-2003^2003) /2 là so nguyen dpcm

Answer 3

Ta có 2007²⁰⁰⁵ có chữ số tận cùng là 7²⁰⁰⁵

2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 3²⁰⁰³

Ta có 7²⁰⁰⁵ = 7²⁰⁰⁴.7=(7⁴)⁵⁰⁴ = 2401⁵⁰¹.7 có chữ số tận cùng là 1 .7 = 7 

=> 2007²⁰⁰⁵ có chữ số tận cùng là 1

Lại có : 3²⁰⁰³= 3²⁰⁰⁰.3³ = ( 3⁴ )⁵⁰⁰ .27 = 81⁵⁰⁰.27 có chữ số tận cùng là 1.7 =7 

=> 2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 7

=> 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ có chữ số tận cùng là 0 

=> 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³ chia hết cho 10 

=> 0,5 . ( 2007²⁰⁰⁵ - 2003²⁰⁰³) là 1 số nguyên

=> đpcm