Câu hỏi của dugpah

Question

Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên: 7x^2−24y^2=41

Lê Song Phương · Accepted Answer

Cách khác (xét theo mod 8): Giả sử tồn tại 2 số nguyên x, y thỏa mãn $7x^2-24y^2=41$

$\Leftrightarrow7x^2-24y^2=48-7$

$\Leftrightarrow7\left(x^2+1\right)=24\left(y^2+2\right)$ (*)

Do $\left(7,24\right)=1$ nên từ (*), ta có $x^2+1⋮24$ $\Rightarrow x^2+1⋮8$

Từ đó x phải là số lẻ. Nhưng nếu như vậy thì $x^2\equiv1\left[8\right]$ dẫn đến $x^2+1\equiv2\left[8\right]$, vô lí.

Vậy điều giả sử là sai $\Rightarrow$ pt đã cho không có nghiệm nguyên.

Câu trả lời:  Cách khác (xét theo mod 8): Giả sử tồn tại 2 số nguyên x, y thỏa mãn $7x^2-24y^2=41$

$\Leftrightarrow7x^2-24y^2=48-7$

$\Leftrightarrow7\left(x^2+1\right)=24\left(y^2+2\right)$ (*)

Do $\left(7,24\right)=1$ nên từ (*), ta có $x^2+1⋮24$ $\Rightarrow x^2+1⋮8$

Từ đó x phải là số lẻ. Nhưng nếu như vậy thì $x^2\equiv1\left[8\right]$ dẫn đến $x^2+1\equiv2\left[8\right]$, vô lí.

Vậy điều giả sử là sai $\Rightarrow$ pt đã cho không có nghiệm nguyên.