Question

Chứng minh phân số sau tối giản :

\(\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\)( n \(\in\)N )

Answer 1

Gọi d = ƯCLN ( n³ + 2n ; n⁴ + 3n² + 1 )

=> n³ + 2n \(⋮\)d  ( 1 ) và n⁴ + 3n² + 1 \(⋮\)d ( 2 )

Từ ( 1 ) => n . ( n³ + 2n ) \(⋮\)d => n⁴ + 2n² \(⋮\)d ( 3 )

Từ ( 2 ) và ( 3 ) => ( n⁴ + 3n² + 1 ) - ( n⁴ + 2n² ) \(⋮\)d

=> n⁴ + 3n² + 1 - n⁴ - 2n² \(⋮\)d

=> ( n⁴ - n⁴ ) + ( 3n² - 2n² ) + 1 \(⋮\)d

=> n² + 1 \(⋮\)d ( * )

=> n² . ( n² + 1 ) \(⋮\)d

=> n⁴ + n² \(⋮\)d ( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) => ( n⁴ + 2n² ) - ( n⁴ + 2n ) \(⋮\)d

=> n² \(⋮\)d ( 5 )

Từ ( * ) và ( 5 ) => ( n² + 1 ) - n² \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d

=> d = 1

Vậy : phân số đã cho tối giản