Question

Chứng minh n(n+1) / 2 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau với n thộc N

Answer 1

Giả sử (n.(n+1):2,2n+1)=d

=>n.(n+1):2 chia hết cho d

    2n+1 chia hết cho  d

=>n.(n+1) chia hết cho d

    2n+1 chia hết cho d

=>n.n+n chia hết cho d

    2n+1 chia hết cho d

=>2.n.n +2.n chia hết cho d

    2.n.n +n chia hết cho d

=>(2.n.n +2.n) - (2.n.n + n ) chia hết cho d

=>n chia hết cho d

Ta có :

n chia hết cho d

2n+1 chia hết cho d

=>2n chia hết cho d

    2n+1 chia hết cho d

=>2n+1- 2n chia hết cho d

=>1 chia hết cho d

=>d=1

=>(n.(n+1):2,2n+1)=1

=>n.(n+1):2 và 2n+1 nguyên tố cung nhau

Vậy n(n+1):2 và 2n+1 nguyên tố cùng nhau

Answer 2

Gọi d là ước chung lớn nhất của n(n+1)2n(n+1)2 và 2n+12n+1
Ta thấy : n(n+1)2n(n+1)2 ⋮⋮ dd.

⇒4.n(n+1)2⇒4.n(n+1)2 ⋮⋮ dd

⇒2n(n+1)⇒2n(n+1) ⋮⋮ d⇒2n2+2nd⇒2n2+2n ⋮⋮ dd

Ta lại có:
2n+12n+1 ⋮⋮ d⇒n(2n+1)d⇒n(2n+1) ⋮⋮ dd

⇒2n2+n⇒2n2+n ⋮⋮ dd

Do đó:
2n2+2n−(2n2+n)2n2+2n−(2n2+n) ⋮⋮ d⇒nd⇒n ⋮⋮ dd

Mặt khác, n chia hết d suy ra 2n chia hết d mà 2n + 1 chia hết d.
Do đó: 1 chia hết d. Vậy UCLN của hai số đã cho ở đề bài là 1.