Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2009}}{a_{2010}}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2009}}{a_2+a_3+...+a_{2010}}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2009}}{a_2+a_3+...+a_{2010}}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{2009}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2009}}{a_2+a_3+...+a_{2010}}\right)^{2009}\) \(\left(1\right)\)
Lại có :
\(\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{2009}=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_1}{a_2}.....\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}.....\frac{a_{2009}}{a_{2010}}=\frac{a_1.a_2.....a_{2009}}{a_2.a_3.....a_{2010}}=\frac{a_1}{a_{2010}}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm : \(\frac{a_1}{a_{2010}}=\left(\frac{a_1+a_2+...+a_{2009}}{a_2+a_3+...+a_{2010}}\right)^{2009}\) \(\left[=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{2009}\right]\)
Chúc bạn học tốt ~