Giải
Xét a chẵn, a có dạng 2k (k thuộc Z)
Ta có N = (a-2).(a+3)-(a-3).(a+2)=(2k-2).(2k+3)-(2k-3).(2k+2)=2(k-1).(2k+3)-(2k-3).2(k+1)=2[(k-1).(2k+3)-(2k-3).(k+1)] chia hết cho 2
=> N là số chẵn (1)
Xét a lẻ, a có dạng 2k+1 (k thuộc Z)
Ta có N = (a-2).(a+3)-(a-3).(a+2)=(2k+1-2).(2k+1+3)-(2k+1-3).(2k+1+2)=(2k-1).(2k+4)-(2k-2).(2k+3)=(2k-1).2(k+2)-2.(k-1).(2k+3)
=2[(2k-1).(k+2)-(k-1).(2k+3)] chia hết cho 2
=> N là số chắn (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
\(N=\left(a-2\right).\left(a+3\right)-\left(a-3\right).\left(a+2\right)\)
\(a\in Z\)nên \(a\)có 1 trong 2 dạng \(2k\)và \(2k+1\)
\(TH1:a=2k\)
\(\Rightarrow N=\left(2k-2\right).\left(2k-3\right)-\left(2k-3\right).\left(2k+2\right)\)
\(+\)Vì \(2k-2\)là số chẵn nên \(\left(2k-2\right).\left(2k+3\right)\)chẵn
\(+\)Vì \(2k+2\)là số chẵn nên\(\left(2k-3\right).\left(2k+2\right)\)chẵn
\(\Rightarrow N\)là số chẵn.
\(TH2:a=2k+1\)
\(\Rightarrow N=\left(2k+1-2\right).\left(2k+1+3\right)-\left(2k+1-3\right).\left(2k+1+2\right)\)
\(\Rightarrow N=\left(2k-1\right).\left(2k+4\right)-\left(2k-2\right).\left(2k+3\right)\)
\(+\)Vì \(2k+4\)chẵn nên \(\left(2k-1\right).\left(2k+4\right)\)chẵn
\(+\)Vì \(\left(2k-2\right)\)chẵn nên\(\left(2k-2\right).\left(2k-3\right)\)chẵn
\(\Rightarrow N\)là số chẵn.
Từ TH1 và TH2:
\(\Rightarrow N\)là số chẵn.
\(N=(a-2)(a+3)-(a-3)(a+2)\)
\(=a(a-2)+3(a-2)-a(a-3)-2(a-3)\)
\(=a^2-2a+3a-6-a^2+3a-2a+6\)
\(=a^2+a-6-a^2+a+6\)
\(=(a^2-a^2)+a+a+(-6+6)\)
\(=2a\)là số chẵn với mọi a thuộc Z
